Lũy thừa số mũ phức của số e

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau.Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

e i x = cos ⁡ x + i ⋅ sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x}

Sau đó với số phức z = x + y ⋅ i {\displaystyle z=x+y\cdot i} , ta có

e z = e x + i y = e x ⋅ e i y = e x ( cos ⁡ y + i ⋅ sin ⁡ y ) {\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\cdot \sin y)}

Lũy thừa số mũ phức của số thực dương

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa az được định nghĩa là

a z = ( e ln ⁡ a ) z = e z ⋅ ln ⁡ a {\displaystyle a^{z}={{\big (}e^{\ln a}{\big )}}^{z}=e^{z\cdot \ln a}}

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình ex = a.

Nếu z = x + y ⋅ i {\displaystyle z=x+y\cdot i} , ta có

a z = e ln ⁡ a ⋅ ( x + i y ) = {\displaystyle a^{z}=e^{\ln a\cdot (x+iy)}=} e x ln ⁡ a + i ⋅ y ln ⁡ a {\displaystyle e^{x\ln a+i\cdot y\ln a}} = e x ⋅ ln ⁡ a ⋅ ( cos ⁡ ( y ln ⁡ a ) + i ⋅ sin ⁡ ( y ln ⁡ a ) ) {\displaystyle =e^{x\cdot \ln a}\cdot {\big (}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big )}} = a x ⋅ ( cos ⁡ ( y ln ⁡ a ) + i ⋅ sin ⁡ ( y ln ⁡ a ) ) {\displaystyle =a^{x}\cdot {\big (}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big )}}